2-6 انتشار یک موج در یک سیستم غیرخطی 41
2-7 سالیتون روشن به صورت تکی و بستهای42
2-8 سالیتون تاریک به دو صورت تکی و بستهای 44
2-9 سالیتونهای تاریک و روشن 44
2-10 نمونه آزمایشگاهی 45
2-11 سالیتون خاکستری45
2-12 نمودار اتلاف بر حسب طول موج47
2-13 پایداری یک موج تک سالیتونی 48
2-14 برخورد دو سالیتون48
2-15 پدیده تسونامی در دریا51
بدون آنکه چیزی از معادلات دیفرانسیل و روشهای حل آنها بدانیم، ارزیابی این شاخه مهم ریاضیات دشوار است. علاوه بر این پیشرفت نظریه معادلات دیفرانسیل با پیشرفت کلی ریاضیات به هم پیوند خورده است و نمیتواند از آن جدا باشد.
معادلات دیفرانسیل زیادی که جوابهای آنها با روشهای تحلیلی بدست نمیآیند به بررسی در روشهای تقریب عددی منجر شدهاند. پیش از سال 1900 روشهای انتگرالگیری عددی نسبتاً مؤثری ابداع شده بودند ولی پیاده کردن آنها به علت نیاز به انجام محاسبات با دست یا با وسایل محاسبه خیلی ابتدایی بیاندازه محدود بود. در پنجاه سال اخیر توسعه روزافزون رایانههای چند منظوره پر قدرت دامنه مسائلی را که میتوان به نحوی مؤثر با روشهای عددی بررسی کرد بیاندازه وسعت بخشیده است.
کار مهم دیگر در زمینه معادلات دیفرانسیل در سده بیستم، ایجاد روشهای هندسی یا توپولوژیکی، بویژه برای معادلات غیرخطی است. هدف این است که حداقل رفتار کیفی جوابها را از دیدگاه هندسی و نیز تحلیلی درک کنیم. اگر اطلاعات تفضیلی بیشتری لازم باشد، معمولاًمیتوان از تقریب عددی استفاده کرد. در چند سال اخیر، این دو روند به هم پیوستهاند. رایانهها، و بویژه نمودارهای رایانهیی، برای مطالعه دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی نیروی محرکه جدیدی به شمار میروند. پدیدههای غیر منتظرهای کشف شدهاند که با اصطلاحاتی نظیر جاذبههای عجیب، آشوبها، و بر خالها به آنها اشاره میشود و با جدیت مورد بررسی قرار گرفتهاندکه در برخی از کاربردها به شناختهای جدید و مهمی منجر شدهاند. هر چند معادلات دیفرانسیل موضوعی قدیمی است، که اطلاعات زیادی از آن در دست است، ولی در طلیعه سده بیست و یکم این موضوع همچنان منبعی پر بار از مسائل حل نشده مهم و جالبی مانده است.
رایانه میتواند وسیله ارزشمندی در مطالعه معادلات دیفرانسیل باشد. سالها از رایانهها برای اجرای الگوریتمهای عددی استفاده میشد تا تقریبهای عددی برای جوابهای معادلات دیفرانسیل به دست آورند. در حال حاضر این الگوریتم ها تکامل یافته و در تعمیم و کار آیی به سطح بسیار بالایی رسیدهاند. چند سطر از رمز رایانهیی، که با زبان سطح بالایی در یک رایانه نسبتاً ارزان نوشته و اجرا شده باشد. (اغلب در مدت چند ثانیه) برای حل عددی رشته وسیعی از معادلات دیفرانسیل کافی است. در بیشتر مراکز رایانهیی روالهای عادی پیشرفتهتر در دسترساند. توانایی این روالها ترکیبی هستند از توانایی پرداختن به دستگاه خیلی بزرگ و پیچیده و چندین ویژگی مفید برای تشخیص که کاربر را با مسائلی که ممکن است با آنها مواجه شود آگاه میسازند. خروجی معمولی از یک الگوریتم عددی جدولی از اعداد شامل مقادیر برگزیده متغیر مستقل و مقادیر متناظر متغیرهای وابسته است. با امکانات گرافیک رایانهیی مناسب، میتوان به سادگی جواب یک معادله دیفرانسیل را به طریق نموداری نمایش داد، خواه جواب به طریق عددی حاصل شده باشد یا خواه نوعی از روش تحلیلی. این گونه نمایش نموداری اغلب برای درک و تعبیر جواب یک معادله دیفرانسیل مفیدتر و روشنگرتر از جدولی از اعداد یا یک فرمول تحلیلی پیچیده است.[1و2]
1-1 معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی
معادلات دیفرانسیل در یک دسته بندی کلی به دو دسته خطی و غیرخطی تقسیم میشوند. در یک تعریف بسیار ساده، معادلهای خطی است که، مرتبه تمامی کمیات موجود در آن، یک باشد. در صورتی که برای معادله غیرخطی، مرتبههای غیر از یک هم، در معادله حضور دارند. صورت کلی این معادلات بصورت زیر میباشد
(1-1)F(t,y,(y,…,y^((n) ))) ́=0
این معادله را خطی گویند، هرگاه F تابعی از متغیرهای y,(y,…,y^((n)) ) ́ باشد. از این رو صورت کلی معادله دیفرانسیل معمولی خطی از مرتبه n چنین است
(1-2)a_0 (t) y^n+a_1 (t) y^((n-1) )+…+a_n (t)y=g(t)
نظریه ریاضی معادلات خطی و روشهای حل آنها توسعه و گسترش بسیار یافتهاند. برعکس در مورد معادلات غیرخطی این نظریه پیچیدهتر است و روشهای حل آنها کمتر رضایتبخش هستند. از این نظر، خوشبختانه بسیاری از مسائل مهم، در تقریب اول به معادلات دیفرانسیل معمولی خطی تعدیل مییابند.
1-2 تفاوتهای بین معادلات خطی و غیرخطی
در بررسی مسأله مقدار اولیه
اساسیترین سؤالهایی که باید در نظر گرفته شوند این است که آیا جوابی وجود دارد، آیا این جواب یکتاست، در چه بازهای این جواب تعریف شده است و چگونه میتوان فرمول مفیدی برای جواب به دست آورد یا نمودار آن را رسم کرد. اگر معادله دیفرانسیل خطی باشد، یک فرمول عمومی برای جواب وجود دارد. علاوه بر این، برای معادلات خطی جوابی عمومی (شامل یک ثابت دلخواه) وجود دارد که شامل همه جوابهاست، و نقاط احتمالی ناپیوستگی جواب را میتوان به آسانی با تعیین نقاط ناپیوستگی ضرایب شناسایی کرد. اما، برای معادلات غیرخطی فرمول متناظری وجود ندارد، بنابراین تعیین ویژگیهای کلی مشابه برای جوابها دشوارتر است.

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

بازه تعریف
مسأله خطی
(1-3)y ́+p(t)y=g(t)
با شرط اولیه y(t_0 )=y_0، در سراسر هر بازه حول t=t_0 که در آن توابع p و g پیوسته باشند جواب دارد. از سویی دیگر، برای یک مقدار اولیه غیرخطی ممکن است به دشواری بتوان بازهای را که در آن جوابی وجود دارد تعیین کرد.
جواب عمومی
معادلات خطی و غیرخطی از جنبه دیگری نیز تفاوت دارند که مربوط به استنباط ما از جواب عمومی است. برای معادله مرتبه اول میتوان جوابی یافت که شامل یک ثابت دلخواه باشد، و از آن همه جوابهای ممکن با مشخص کردن مقادیر این ثابت به دست میآیند. درباره معادلات غیرخطی ممکن است وضع چنین نباشد؛ حتی اگر بتوان جوابی شامل یک ثابت دلخواه پیدا کرد، ممکن است جوابهایی وجود داشته باشند که نتوان آنها را به ازای هیچ مقداری از این ثابت به دست آورد. بنابراین اصطلاح “جواب عمومی” را فقط در بحث معادلات خطی به کار برده میشود.
جوابهای ضمنی
بار دیگر یادآوری میکنیم که معادله خطی مرتبه اول راه حل دقیق برای جواب y=∅(t) دارد. مادامی که توابع اولیه لازم را بتوان به دست آورد، در هر نقطه مقدار جواب را میتوان تنها با گذاشتن مقدار مناسب t در دستور مزبور به دست آورد. برای معادله غیرخطی به ندرت میتوان چنین جواب صریحی پیدا کرد. معمولاّ در بیشتر موارد حداکثر میتوان رابطهای به صورت
(1-4)F(t,y)=0
شامل t و y یافت که جواب y=∅(t) در آن صدق کند. حتی همین کار را هم فقط برای انواع خاصی از معادلات دیفرانسیل میتوان انجام داد، که معادلات تفکیکپذیر مهمترین آنها هستند. رابطه بالا را یک انتگرال (یا انتگرال اول) از معادله دیفرانسیل بدست میآورد و جواب را به صورت تابع ضمنی معین میکند؛ بدان معنی که به ازای هر مقدار t باید معادله بالا را حل کنیم تا مقدار متناظر y را به دست آوریم. اگر رابطه بالا نسبتاّ ساده باشد، میتوان با روشهای تحلیلی آن را نسبت به y حل کرد و از آنجا فرمول صریحی برای جواب به دست آورد. اما اغلب چنین نیست، باید به محاسبات عددی روی آورد تا به ازای مقدار tی مفروض بتوان مقدار y را به دست آورد. وقتی که زوجهای متعددی ازt و y محاسبه شدند، رسم آنها و ترسیم خم انتگرالی که از آن نقاط میگذرد اغلب مفید است. در صورت امکان باید این کار را با استفاده از رایانه انجام داد.[1و3]
1-3 معادله شرودینگر غیرخطی
معادله شرودینگر غیرخطی1 یک مدل از تحول بسته یک بعدی امواج سطحی روی آب عمیق است. این معادله توصیف چرخش موج غیرخطی در غیرخطی، به طور قوی متفرق کننده و سیستمهای هذلولی است. انتشار یک حالت راهنما در یک فیبر مونو- مد غیرخطی کامل توسط معادله شرودینگر غیرخطی مدل سازی میشود.
صورت کلی معادله شرودینگر به صورت زیر است:
(1-5)P (∂^2 A)/(∂x^2 )+QA|A|^2=i ∂A/∂t
که یک معادله دیفرانسیل انتگرالپذیر است. از آنجا که این معادله ساختاری شبیه به معادله شرودینگر در کوانتوم مکانیک دارد لذا آنرا معادله غیرخطی شرودینگر گویند(|A|^2 در اینجا معادل پتانسیل در کوانتوم است). QA|A|^2، بخش غیرخطی و P (∂^2 A)/(∂x^2 )، عامل پاشندگی نامیده میشود. در حقیقت این معادله نقش مهمی در تئوری انتشار بستههای موج در سیستمهای فیزیکی پاشنده دارد. بسیاری از سیستمهای غیرخطی، جواب موج هارمونیک زیر را دارند:
(1-6)φ=aexp[i(kx-ω(k)t)]
که دامنه a به قدر کافی کوچک است. میخواهیم سیستمی را بررسی کنیم که حالت اصلی آن یک جواب هارمونیک خطی است و با وجود اینکه این اثرات خطی بسیار بزرگ هستند اما از اثرات غیرخطی نیز نمیتوان صرفنظر کرد. ضمناٌ فرض میکنیم که بستههای موج نسبت به زمان و مکان در مقایسه با نوسانات سینوسی، کند تغییر باشد. برای مثال موج AM رادیو شامل یک موج رونده نوسانی تند تغییر و یک بسته موج کند تغییر است. شکل 1-1
شکل1-1موج AM شامل یک موج رونده نوسانی تند تغییر و یک بسته موج کند تغییر
رابطه پاشندگی برای یک سیستم خطی واقعی از دامنه مستقل است. اما در اینجا فرض میکنیم که در سیستم با یک پاشندگی ضعیف سروکار داریم و رابطه پاشندگی به دامنه وابسته است و :
(1-7)ω=ω(kو|A|^2 )
ω را حول عدد موج k_1 و فرکانس ω_1 بسط تیلور میدهیم:
(1-8)ω-ω_1=[∂ω/∂k]_1.(k-k_1 )+1/2 [(∂^2 ω)/(∂k^2 )]_1. (k-k_1 )^2+[∂ω/(∂|A|^2 )]_1. |A|^2…
این رابطه یک فضای فوریه معادل با رابطه اپراتوری است که اگر روی A اثر کند، میدهد:
(1-9)i[∂/∂t+[∂ω/∂k]_0 ∂/∂x]A+1/2 [(∂^2 ω)/(∂k^2 )]_0.(∂^2 A)/(∂x^2 )-[∂ω/(∂|A|^2 )]_0. A|A|^2=0
ω-ω_0=i ∂/∂t , k-k_0=-i ∂/∂x
که از جملات مرتبه بالاتر صرفنظر شده است. معادله (1-9) همان معادله NLS است که تاثیر جمله غیرخطی را با توجه به اینکه فرض کنیم سیستم دارای رابطه پاشندگی وابسته به دامنه است، نشان میدهد. این روش صریحاً به ما میگوید که چگونه معادله NLS ایجاد میشود ولی ضرایب آن را مشخص نمیکند. از آنجا که xوt متغیرهای نرمال فضا و زمان هستند، دو دسته متغیر X_n=ε^n x و T_n=ε^n t را برای بسته موج کند تغییر تعریف میکنیم و این متغیرها را مستقل فرض میکنیم (روش اختلال کاهنده در حد نیمه پیوسته). برای یافتن ضرایب معادله برای بسته موج از یک مثال استفاده میکنیم. برای این منظور معادله کلاین- گوردون درجه سه را در نظر میگیریم:
(1-10)∅_u-∅_n=α∅-β∅^3
که دارای لاگرانژی زیر است:
(1-11)L=1/2 (∅_x^2+∅_t^2 )+1/2 α∅^2-1/4 β∅^4

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب(به صورت کاملا تصادفی و به صورت نمونه) با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود-این مطالب صرفا برای دمو می باشد

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

و پتانسیلی به شکل زیر دارد:
(1-12)V(∅)=1/2 α∅^2-1/4 β∅^4
این معادله در ∅=0 دارای مینیمم و در∅=±(α/β)^(1/2) ماکسیمم است.∅=0 یک جواب برای (1-10) است و می توان ∅ را به صورت زیر بسط داد:
(1-13)∅=ε^p ∅^((1) )+ε^2p ∅^((2) )+…
∂/∂x و ∂/∂t را نیز طوری تغییر میدهیم که با X_n و T_n متناسب باشند:
(1-a14)∂/∂x→∂/∂x+∑_(n=1)▒〖ε^n ∂/(∂X_n )〗
(1-b14) ∂/∂t→∂/∂t+∑_(n=1)▒〖ε^n ∂/(∂T_n )〗
متغیرهای T_n و X_n و x و tرا متغیرهای مستقل در نظر میگیریم. با قرار دادن روابط
(1-a14) و (1-b14) در (1-10) خواهیم داشت:
(1-15) {(∂/∂x+ε ∂/(∂X_1 )+ε^2 ∂/(∂X_2 ))^2-(∂/∂t+ε ∂/(∂T_1 )+ε^2 ∂/(∂T_2 )…)^2 }-α(ε^p ∅^((1) )+ε^2p ∅^((2) )…)+β(ε^p ∅^((1) )+ε^2p ∅^((2) )…)^3=0
حال جملات را بر حسب مرتبههای مختلف ε مینویسیم :
(1-a16)O(ε^p )→(∂^2/(∂x^2 )-∂^2/(∂t^2 )-α) ∅^((1) )
(1-b16) O(ε^(p+1) )→2(∂^2/(∂x∂X_1 )-∂^2/(∂t∂T_1 )-α) ∅^((1) )
(1-c16)O(ε^2p )→2(∂^2/(∂x^2 )-∂^2/(∂t^2 )-α) ∅^((2) )
(1-d16)O(ε^( 2p+1) )→2(∂^2/(∂x∂X_1 )-∂^2/(∂t∂T_1 )) ∅^((2) )
(1-e16)O(ε^(p+2) )→2(∂^2/(∂x∂X_2 )-∂^2/(∂t∂T_2 )) ∅^((1) )+(∂^2/(∂X_1^2 )-∂^2/(∂T_1^2 )) ∅^((1) )
(1-f16)0(ε^3P )→β(∅^((1) ) )^3+(∂^2/(∂x^2 )-∂^2/(∂t^2 )-α) ∅^((3) )
پس از انجام یک سری محاسبات ریاضی دو مقدار p=1 وp=2 را بدست میآوریم. اگر p=2 باشد آنگاه نمیتوان جواب محسوسی برای ∅^((1) ) پیدا نمود لذا با p=1 کار میکنیم. جملات مختلف را بر حسب توان ε مساوی با صفر قرار میدهیم:
(1-a17)O(ε)→(∂^2/(∂x^2 )-∂^2/(∂t^2 )-α) ∅^((1) )=0
(1-b17) O(ε^2 )→(∂^2/(∂x^2 )-∂^2/(∂t^2 )-α) ∅^((2) )=-2(∂^2/(∂x∂X_1 )-∂^2/(∂t∂T_1 )) ∅^((1) )
(1-c17)O(ε^3 )→(∂^2/(∂x^2 )-∂^2/(∂t^2 )-α) ∅^((3) )=-2(∂^2/(∂x∂X_1 )-∂^2/(∂t∂T_1 )) ∅^((2) )-2
(1-d17)(∂^2/(∂x^2 )-∂^2/(∂t^2 )) ∅^((1) )-(∂^2/(∂X_1^2 )-∂^2/(∂T_1^2 )) ∅^((1) )-β(∅^((1) ) )^3
میتوان جواب هارمونیکی را برای (1-a17) بدست آورد البته چون اپراتورهای مشتقگیری فقط برحسب x وt هستند به صورت زیر عمل میکنیم:
(1-18)∅^((1) )=A(X_1,X_2,…,T_1,T_2,..)exp(iθ)+c.c.
θ=kx-ωt+δ
ω^2=k^2+α α>0
تابع A در رابطه بالا، تابع دامنه ترکیبی اختیاری برای حالت کند تغییر است. بنابراین تا اینجا یک موج خطی نوسانی را که دارای بسته موج کند تغییر است بدست آوردهایم. با قرار دادن (1-18) در (1-b17) داریم:
(1-19)(∂^2/(∂x^2 )-∂^2/(∂t^2 )) ∅^((2) )=-2i(k ∂A/(∂X_1 )+ω ∂A/(∂T_1 ))exp(iθ)+c.c.
برای یافتن ∅^((2) ) از این رابطه به یک مسئله بر میخوریم و آن اینکه به خاطر وجود اپراتور خطی یکسان در هر دو معادله (1-a17) و (1-19)، قسمتی از جواب مشابه حل (1-18) خواهد بود در نتیجه طرف راست معادله (1-19) با این جواب ترکیب خواهد شد. ضمناً یک جمله exp(iθ) نیز خواهیم داشت. بنابراین انتگرالجزیی∅^((2) ) شامل جملاتی مثل θexp(iθ) خواهد بود. وقتی کهt→∞ این نوع جملات بزرگ میشوند و لذا تئوری اختلال درt>ε^(-1) ناتوان خواهد شد. بنابراین یا باید A یک مقدار ثابت باشد و یا در معادله زیر صدق کند:
(1-20)(k ∂A/(∂X_1 )+ω ∂A/(∂T_1 ))=0
برای این منظور متغیر جدیدی را تعریف میکنیم:
(1-21)X ̅=X_1-C_g T_1
که C_g=dω/dt سرعت گروه است. پس میتوان دامنه را به صورتA(X ̅,X_2,T_2 ) تعریف کرد. حال به سراغ مرتبه ε^3 میرویم.
(1-22) (∂^2/(∂x^2 )-∂^2/(∂t^2 )-α) ∅^((3) )-2i(k ∂A/(∂X_1 )+ω ∂A/(∂T_1 ))exp(iθ)-[(1-c_g^2 ) (∂^2 A)/(∂X ̅^2 )+3βA^2 A^* ]exp(iθ)-βA^3 exp(3iθ)+c.c.
در این معادله جمله شامل ∅^((2) ) با توجه به (1-21) صفر شده است. در طرف راست رابطه بالا به جز جمله شامل exp(3iθ)، سایر جملههای exp(iθ) با همان استدلال بالا بزرگ خواهند شد و برای t>ε^(-1) تئوری اختلال کاربرد خود را از دست میدهد. برای جلوگیری از این امر باید ضرایب exp(iθ) صفر شوند:
(1-23)(1-c_g^2 ) (∂^2 A)/(∂X ̅^2 )+3βA^2 A^*+2i(k ∂A/(∂X_2 )+ω ∂A/(∂T_2 ))=0
میتوان معادله بالا را برای هر کدام از X_2 و T_2 به طور مجزا در نظر گرفت. اگر رابطه را بر حسب زمان بنویسیم:
(1-24)(∂^2 A)/(∂X ̅^2 )+3βω^2 α^(-1) A|A|^2+2iω^2 α^(-1) ∂A/(∂T_2 )=0
این رابطه همان معادله NLS است. دامنه A ترکیب دو قسمت حقیقی و موهومی است و اگر قسمت موهومی آنرا جدا کنیم یعنی:
(1-25)A(X ̅,T_2 )=a(X ̅,T_2 )exp[i∅(X ̅,T_2 )]
که در آن aو ∅ حقیقی هستند، داریم:
(1-26)∅^((1) )=2a(X ̅,T_2 ) cos⁡[kx-ωt+∅(X ̅,T_2 )]
که 2a(X ̅,T_2 ) دامنه حقیقی کند تغییر و ∅(X ̅,T_2 ) فاز کند تغییر است که از دادههای اولیه مسئله بدست میآیند. حل تک سالیتونی2 (1-24) به فرم زیر است:
(1-27)A=a√(2⁄β) exp[i∅] sec⁡h[a(x-bt)]
که ∅=1/2 bx-(1/4 b^2-a^2 )t
aو b ثابتهای اختیاری هستند شکلهای 1-2 و 1-3. [4و5و6]
شکل 1-2 جواب سالیتونی معادله NLS
شکل 1-3 جواب پوش سالیتونی معادله NLS
معادله دیفرانسیل (1-5) را به صورت زیر در نظر بگیرید:
(1-28)i ∂U/∂τ+P (∂^2 U)/(∂ξ^2 )+Q|U|^2 U=0
این معادله پاسخی به صورت زیر دارد:
(1-29)U=U ̂e^(iQ|u ̂ |^2 )+c.c.
که در آن U ̂ دامنه است و به صورت زیر بسط داده میشود:
(1-30)U ̂=U ̂_0+ε(U_10 ) ̂e^i(k_ξ ξ-Ωτ) +c.c.
در رابطه بالا (U_0 ) ̂ مقدار ثابت دامنه موج، Ω فرکانس برای نوسات اختلالی و k بردار موج است و به صورت K=K_ξ j تعریف می شود ( j بردار یکه در جهت ξ است). با قرار دادن معادله (1-30) در معادله (1-28) و با در نظر گرفتن جملات هم مرتبه به روابط زیر برای فرکانس اختلال میرسیم:
(1-31)Ω^2=〖PK〗_ξ^2 (〖PK〗_ξ^2-2Q|U_1 |^2 )
با توجه به معادله (1-31) پایداری موج زمانی رخ میدهد که Ω حقیقی باشد و این امر منوط این است که PQ<0 باشد. اگر PQ>0 باشد، دامنه موج زمانی پایدار خواهد بود که رابطه زیر برقرار باشد:
(1-32)K_ξcr=|U ̂_0 | √(2Q/P)
K_ξcr مقدار بحرانی و λ_cr=2π/K_ξcr طول موج آستانه تعریف میشود. [4و6و7]

دسته بندی : پایان نامه

دیدگاهتان را بنویسید